Строгие критики могут обвинить нас, что здесь используются термины, которые еще не определены в геометрии, например, слово “размер”.

Существует много аргументов против этого обвинения. Например, мы можем пообещать определить это слово впоследствии, что часто применяется в научных публикациях и вполне вписывается в пропагандируемый здесь метод рекурсии. Нетрудно однако заметить, что, вследствие бесконечной малости объекта, геометрическое содержание термина “размер” не имеет ни малейшего значения, и нам вполне достаточно его общенаучного и даже бытового значения.

Если вы захотите использовать определение точки непосредственно в школьном преподавании, то предварительно должны дать определение бесконечно малой величины или пояснить его смысл способом, соответствующим уровню знаний обучаемых.

Что дает предложенное определение?

Первое. В любом общенациональном языке понятие “точка” весьма многозначно. После нашего определения геометрическое применение этого понятия стало вполне однозначным.

Теперь вырисовывается общая задача формулировки ОГ. Это придание однозначности всем терминам и определение чисто геометрических объектов и понятий, неизвестных вне геометрии. Понятно, что аналогичные задачи стоят в основаниях других наук.

Вторым результатом нашего определения точки является то, что, благодаря приданному ей свойству бесконечной малости, некоторые аксиомы становятся простым следствием этого свойства. Несколько позже мы еще вернемся к этому вопросу.

Не будем утомлять читателя определением понятий “поверхность” и “линия” — никто не сомневается в существовании этих определений.

Сфера обычно определяется как множество точек, равноудаленных от заданной.

Хотя равноудаленность в бытовом смысле не вызывает вопросов, мы все же должны указать способ построения сферы: она получается как множество положений одного из концов циркуля, если другой конец закреплен в заданной точке.

В последнем предложении, неявно подразумевается, что при любых изменениях положения циркуля его раствор не меняется, т.е., пространство однородно и изотропно.

Среди физиков (да и математиков) было много дискуссий по вопросу однородности и изотропности реального пространства. Существует, однако, одно соображение, которое делает этот вопрос неактуальным для геометрии и, вообще, математики.

Когда древние строили геометрию, они считали само собой разумеющимся, что влияние материальных объектов на геометрические свойства фигур должно быть исключено. Как потом оказалось, факторы этого влияния могут быть весьма разнообразными: температура, силовые поля, ветер, различные оптические искажения и т.д.. Но, как только эти влияния становились известными, человек находил способы вносить соответствующие поправки.

Чисто теоретически можно представить себе такое устройство, которое сохраняет расстояние между двумя точками неизменным при любом перемещении, компенсируя изменения физических условий специальными способами, вплоть до введения расчетных поправок.

Термин “расстояние” применен здесь в общелексическом смысле. При дальнейшем его уточнении мы можем вернуться к предложенной формулировке и убедиться в ее непротиворечивости.

Назовем описанное выше устройство идеальным циркулем. В обыденной жизни обыкновенный циркуль с огромной точностью удовлетворяет изложенным требованиям. Фактически, процедурой получения идеального циркуля, мы определили способ построения однородного изотропного пространства.

Может появиться вопрос, а что если существуют ситуации, когда раствор циркуля меняется, но никаких физических последствий это не вызывает, и, следовательно, упомянутое изменение никак не может быть обнаружено?

Чистейшая умозрительность поставленного вопроса (отсутствие физических последствий) со всей убедительностью показывает, что однородное изотропное пространство может быть введено всегда. Обратим внимание, что авторы многих учебников, ратующих за строгую иерархию доказательств, довольно безапеляционно используют неизменность раствора циркуля, не балуя обучаемых не только аксиомой, но и простым сообщением.

После изложенных замечаний, можно было бы перейти к обсуждению возможности определения понятия “плоскость”, однако из чисто методических побуждений мы рассмотрим сначала некоторые наглядные построения планиметрии, после которых упомянутое определение возникает практически само собой, как простая аналогия.

Слово “прямая” на общепринятом языке означает “не кривая”.Нет никакого сомнения, что именно это значение имел ввиду Евклид и все древние. Вполне вероятно, что уже тогда был известен способ проверки линейки ее переворачиванием, широко применяемый плотниками и слесарями до настоящего времени. Идея этого переворачивания очевидна: две кривизны складываясь с противоположным знаком уничтожают друг друга.

Пользуясь этой идеей, можно привести несколько способов построения прямой линии чисто геометрическими методами, без привлечения физических свойств тел (натягивания шнура, пропускания луча света и т.п.), без шаблона (линейки), одним лишь циркулем.

Первый напрашивающийся способ —это проведение линии, равноудаленной от двух дуг окружностей одинакового радиуса, но противоположной выпуклости. Здесь мы должны заметить, что окружность, в отличие от прямой, вполне четко определена во всех учебниках геометрии.

Второй способ вытекает из первого, но проще по исполнению. Заметим, что, если центры упомянутых выше окружностей разные, то точки пересечения их дуг лежат на строимой нами равноудаленной. Меняя радиусы, но не меняя центры, найдем новую пару точек. Нетрудно убедиться, что, ввиду полной симметрии, эта новая пара точек лежит на той же равноудаленной, т.е., на той же прямой. Продолжая этот процесс, мы можем построить все точки искомой линии. Фактически этот способ известен как построение перпендекуляра через середину отрезка, концами которого в нашем случае являются центры окружностей проводимых нами дуг (см. рис.1).

Понятие “кривизна” встречается на поздних этапах изучения геометрии. Ничто, однако, не мешает ввести его в основания геометрии. Как известно, кривизной называется величина, обратная радиусу окружности, аппроксимирующей кривую в заданной точке.

Тогда прямую мы можем определить как линию нулевой кривизны. Нет никакого сомнения, что именно так интерпретировали это понятие древние и именно такой вполне однозначный смысл слово “прямая” имеет в общепринятой норме языка.

После приведенных высказываний определение плоскости как поверхности нулевой кривизны становится почти тривиальным. Плоскость можно представить как поверхность, равноотстоящую от двух сфер одинакового радиуса.